Asymptotic Expansion

Definition / 定义

渐近展开：在某个极限情形（如 (x\to 0)、(x\to \infty)、参数很小/很大）下，用一串按“主导大小次序”排列的项来近似一个函数的表达式。它强调的是在极限附近越来越接近的近似，而不一定在整个区间内收敛。（该术语在数学分析、应用数学与物理中非常常见。）

Pronunciation / 发音

/ˌæsɪmpˈtɑːtɪk ɪkˈspænʃən/

Examples / 例句

We used an asymptotic expansion to approximate the integral.
我们用渐近展开来近似计算这个积分。

As (x \to 0), the asymptotic expansion shows that the leading term dominates, so the approximation becomes more accurate near zero.
当 (x \to 0) 时，渐近展开表明首项起主导作用，因此在零附近近似会更精确。

Etymology / 词源

asymptotic 来自希腊语词根 *a-*（否定）+ *sym-*（一起）+ ptōtos（落下），原义接近“不相交却无限接近”，与“渐近线（asymptote）”同源；expansion 来自拉丁语 expandere（展开、铺开）。合起来的 asymptotic expansion 指“在某个极限下把函数按主次项‘展开’成可用来近似的形式”。

Related Words / 相关词

• Asymptotic
• Approximation
• Series
• Taylor Series
• Perturbation
• Big-O Notation
• Limit
• Divergent Series
• Saddle-Point Method
• Laplace Method

Literary Works / 文献与作品

• Asymptotic Expansions（A. Erdélyi）：专门系统讨论渐近展开的经典专著。
• Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers（Bender & Orszag）：应用数学中渐近方法与渐近展开的代表性教材。
• Handbook of Mathematical Functions（Abramowitz & Stegun）：大量特殊函数的渐近展开与近似公式来源之一。
• Methods of Theoretical Physics（Morse & Feshbach）：理论物理推导中常用渐近展开处理复杂表达式。
• Principles of Applied Mathematics（Hildebrand）：应用数学方法中包含渐近展开与误差阶的讨论。