Chebyshev Polynomial

释义 Definition

切比雪夫多项式：一类在数值分析、逼近理论与正交多项式理论中非常重要的多项式族，常记为 **(T_n(x))**（第一类）与 **(U_n(x))**（第二类）。其中第一类满足
[ T_n(\cos \theta)=\cos(n\theta), ] 并在区间 ([-1,1]) 上具有良好的“最小最大误差”（minimax）性质，常用于函数逼近与插值（如切比雪夫节点）。

发音 Pronunciation (IPA)

/tʃɪˈbɛʃɛv ˈpɑːlɪˌnoʊmiəl/

例句 Examples

Chebyshev polynomials are often used to approximate functions on the interval ([-1,1]).
切比雪夫多项式常用于在区间 ([-1,1]) 上近似函数。

By expanding the solution in Chebyshev polynomials, we can reduce the differential equation to a system of algebraic equations and improve numerical stability.
通过将解展开为切比雪夫多项式，我们可以把微分方程化为代数方程组，并提升数值稳定性。

词源 Etymology

“Chebyshev”来自俄国数学家 Pafnuty Chebyshev（帕夫努季·切比雪夫，1821–1894）的姓氏（英语中常见多种转写，如 Chebyshev / Tchebycheff）。这类多项式因他在逼近理论与误差最优化相关研究中的奠基性贡献而得名；“polynomial”则源于拉丁语系词根，意为“多项式”。

相关词 Related Words

• Approximation
• Interpolation
• Orthogonal
• Polynomial
• Minimax
• Legendre
• Fourier
• Spectral

文学与著作 Literary Works

• Gábor Szegő，《Orthogonal Polynomials》：系统讨论正交多项式理论，包含切比雪夫多项式的经典性质与应用。
• E. W. Cheney，《Introduction to Approximation Theory》：逼近理论入门著作中常以切比雪夫多项式说明最小最大逼近思想。
• Lloyd N. Trefethen，《Spectral Methods in MATLAB》：谱方法与数值计算中大量使用切比雪夫多项式与切比雪夫点。
• Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery，《Numerical Recipes》：在数值逼近与插值相关章节中常出现切比雪夫多项式展开与算法。