Dirichlet Boundary Condition

定义 / Definition

Dirichlet boundary condition（狄利克雷边界条件）是偏微分方程（PDE）与边值问题中最常见的一类边界条件：在边界上直接规定未知函数的取值。
常写作：在边界 (\partial\Omega) 上给定 (u=g)，即
[ u(x)=g(x), \quad x\in \partial\Omega. ]
它与“规定导数/通量”的 Neumann 边界条件相对；很多实际问题里，Dirichlet 条件对应“把边界的温度/位移/电势固定为某个已知值”。

发音 / Pronunciation (IPA)

/dɪˈriːklɛt/ (Dirichlet)
/ˈbaʊnd(ə)ri kənˈdɪʃ(ə)n/ (boundary condition)

例句 / Examples

We solve Laplace’s equation with a Dirichlet boundary condition on the boundary of the domain.
我们在区域边界上施加狄利克雷边界条件来求解拉普拉斯方程。

In the heat equation, fixing the temperature at the ends of a rod is a Dirichlet boundary condition, which ensures a well-posed boundary value problem.
在热方程中，把杆两端温度固定为已知值就是狄利克雷边界条件，这通常能保证边值问题的适定性。

词源 / Etymology

“Dirichlet”来自19世纪德国数学家Peter Gustav Lejeune Dirichlet（狄利克雷）的姓氏。该术语与经典的势理论、拉普拉斯方程及所谓“狄利克雷问题（Dirichlet problem）”密切相关；“boundary condition”则直译为“边界条件”，指在区域边界上对解施加的约束。

相关词 / Related Words

• Boundary
• Condition
• Dirichlet
• Neumann
• Robin
• Laplace
• Poisson
• PDE
• Well-posedness
• Trace

文献与作品 / Literary & Notable Works

• Partial Differential Equations — Lawrence C. Evans
• Partial Differential Equations: An Introduction — Walter A. Strauss
• Elliptic Partial Differential Equations of Second Order — David Gilbarg & Neil S. Trudinger
• Methods of Mathematical Physics — Richard Courant & David Hilbert
• The Dirichlet Problem（常作为章节主题出现在势理论/调和函数教材与讲义中）