Heine–Cantor Theorem

释义 Definition

海涅—康托尔定理：在度量空间中，若一个函数在紧致集上连续，则它在该紧致集上一定是一致连续的。（在欧氏空间里可理解为：连续函数在闭且有界的集合上必一致连续。）此定理是分析与拓扑中的基础工具。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈhaɪnə ˈkæntɔːr ˈθɪərəm/

例句 Examples

The Heine–Cantor theorem says every continuous function on a compact set is uniformly continuous.
海涅—康托尔定理指出：在紧致集上的每个连续函数都是一致连续的。

Using the Heine–Cantor theorem, we can choose a single \u03b4 that works for all points in the compact domain, which is crucial for proving uniform convergence results.
利用海涅—康托尔定理，我们可以选取一个对紧致定义域内所有点都适用的同一个 \u03b4，这对证明某些一致收敛结论非常关键。

词源 Etymology

该定理以两位德国数学家命名：Eduard Heine（海涅）与Georg Cantor（康托尔）。它反映了“紧致性（compactness）”在分析中的重要作用：紧致性常常把“逐点/局部”的性质提升为“整体/一致”的性质（如从连续推出一致连续）。

相关词 Related Words

• Compactness
• Compact Set
• Continuity
• Uniform Continuity
• Heine–Borel Theorem
• Bolzano–Weierstrass Theorem
• Metric Space
• Uniform Convergence

文学与经典教材中的出现 Literary Works

• Walter Rudin，《Principles of Mathematical Analysis（《数学分析原理》）》：在紧致性与一致连续性的章节中常以该定理为核心结论之一。
• James R. Munkres，《Topology（《拓扑学》）》：在度量空间与紧致性部分，用于连接紧致性与函数的整体性质。
• Tom M. Apostol，《Mathematical Analysis（《数学分析》）》：用于证明在闭区间上连续函数的一致连续性等经典结果。