Monotone Convergence Theorem

定义 Definition（中文）

单调收敛定理：在测度论/积分论中，如果一列可测函数 (f_1,f_2,\dots) 逐点单调递增（(f_n(x)\le f_{n+1}(x))）且 非负，并且 (f_n(x)\to f(x))，那么它们的积分满足
[ \int f,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int f_n,d\mu. ]
它的核心意义是：在“单调递增且非负”的条件下，可以把“极限”和“积分”交换。该定理也常简称为 MCT。
（注：在更一般的表述中，关键条件是 (f_n\uparrow f) 且 (f_n) 可测；非负性常作为标准版本的一部分。）

发音 Pronunciation（IPA）

/ˈmɑːnəˌtoʊn kənˈvɝːdʒəns ˈθiːərəm/

例句 Examples

The monotone convergence theorem lets us interchange the limit and the integral for an increasing sequence of nonnegative functions.
单调收敛定理允许我们对一列单调递增的非负函数把“取极限”和“做积分”交换顺序。

Using the monotone convergence theorem, we can compute (\int f,d\mu) by integrating simpler functions (f_n) that increase pointwise to (f).
利用单调收敛定理，我们可以通过对更简单的函数序列 (f_n) 积分来计算 (\int f,d\mu)，其中 (f_n) 逐点递增并收敛到 (f)。

词源 Etymology（中文）

monotone 来自希腊语词根 *mono-*（“单一、单个”）与 tonos（“音调/张力”），在数学里引申为“单调的、朝一个方向变化的”；convergence 源自拉丁语 convergere（“汇聚到一起”），表示“收敛”；theorem 源自希腊语 theōrēma（“可被证明的命题”）。合起来就是“关于单调（递增）函数列收敛时积分行为的定理”。

相关词 Related Words

• Measure
• Integral
• Measurable
• Limit
• Converge
• Monotone
• Dominated
• Fatou
• Lebesgue

文学与经典著作中的出现 Literary Works（中文）

• Real and Complex Analysis（Walter Rudin）——在勒贝格积分与交换极限/积分的章节中系统讨论该定理。
• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（Gerald B. Folland）——作为测度论核心定理之一出现。
• Measure Theory（Paul R. Halmos）——在建立勒贝格积分性质时使用与证明单调收敛定理。
• Real Analysis（H. L. Royden & P. M. Fitzpatrick）——常用于从简单函数逼近到一般函数积分的推导。
• Probability and Measure（Patrick Billingsley）——在概率论的测度框架下用于期望与极限交换的论证。