Scalar Triple Product

定义 Definition

“标量三重积”（也叫混合积）是向量运算中的一个量：对三个向量 a、b、c，其标量三重积为
a · (b × c)。
它的结果是一个标量，几何意义是由这三个向量构成的平行六面体的有向体积（绝对值为体积；符号由右手定则决定）。另一个常见表示是一个 3×3 行列式。

例句 Examples

We can find the volume by computing the scalar triple product a · (b × c).
我们可以通过计算标量三重积 a · (b × c) 来求体积。

If the scalar triple product is zero, the three vectors are coplanar, so they do not form a 3D volume.
如果标量三重积为零，说明三个向量共面，因此不能构成三维体积。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈskeɪlər ˈtrɪpəl ˈprɑːdʌkt/

词源 Etymology

scalar 源自拉丁语 scalaris（“梯子/刻度的”相关），在数学里引申为“只有大小、没有方向的量”；triple 来自拉丁语 triplus（“三倍的/三重的”）；product 源自拉丁语 productus（“产生的结果”），在数学中指“乘积/运算结果”。合起来即“三个量参与、结果为标量的乘积/运算”。

相关词 Related Words

• Dot Product
• Cross Product
• Vector
• Determinant
• Mixed Product
• Coplanar
• Parallelepiped

文学与名著用例 Literary Works

• Vector Analysis（J. Willard Gibbs；E. B. Wilson 编）——在向量运算章节中讨论三重积与体积的关系。
• Calculus: Early Transcendentals（James Stewart）——多元微积分/向量章节常用标量三重积计算体积。
• Mathematical Methods for Physicists（Arfken, Weber, Harris）——在物理数学方法中用于向量恒等式与几何解释。
• Classical Mechanics（Herbert Goldstein）——在刚体与向量表达中出现相关三重积表达式。