Weak Derivative

释义 Definition

弱导数：在分布（广义函数）的意义下定义的“导数”。当一个函数不够光滑、无法按通常方式求导时，如果它满足某种积分恒等式（通过与光滑测试函数做积分并分部积分），就可以把相应对象称为它的弱导数。常见于 Sobolev 空间与偏微分方程（PDE）中。

发音 Pronunciation (IPA)

/wiːk dɪˈrɪvətɪv/

例句 Examples

A weak derivative can exist even when the function is not classically differentiable.
即使函数在经典意义下不可导，它也可能存在弱导数。

In Sobolev space theory, we define the weak derivative by requiring an integration-by-parts identity to hold for all smooth test functions with compact support.
在 Sobolev 空间理论中，我们通过要求对所有紧支撑的光滑测试函数都满足分部积分恒等式来定义弱导数。

词源 Etymology

weak 在数学语境里常译为“弱”，表示“较弱的条件/较弱的收敛/较弱的意义”（不要求点态或经典意义成立，而是在积分、分布等更宽松框架下成立）。derivative 源自拉丁语 derivare（引出、导出），在数学中指“导数”。合起来 weak derivative 就是“在较弱意义下的导数”。

相关词 Related Words

• Derivative
• Distribution
• Test Function
• Sobolev Space
• Weak Solution
• Integration By Parts
• Gradient

文学与经典著作 Literary Works

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations（讨论弱导数、弱解与 Sobolev 空间的核心概念）
• Robert A. Adams & John J. F. Fournier, Sobolev Spaces（系统讲解弱导数与 Sobolev 空间）
• Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations（以泛函分析视角讲弱导数与 PDE）
• David Gilbarg & Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order（在椭圆型方程理论中广泛使用弱导数/弱解框架）