为什么会有无理数？

这是一个专门讨论 idea 的地方。

每个人的时间，资源是有限的，有的时候你或许能够想到很多 idea，但是由于现实的限制，却并不是所有的 idea 都能够成为现实。

那这个时候，不妨可以把那些 idea 分享出来，启发别人。

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起因是想到 1/3 是 0.33 无限循环小数，但是我想如果不是 10 进制，是 9 进制，那 1/3 就是 0.3 了
继而想到无限不循环小数，即无理数

比较熟知的无理数有根号 2 根号 3 pie 等等
简单在百度百科看了一下 https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0
对证明根号 2 是无理数的证明也可以理解

但我的想法是为什么会有无理数？就是说（ 0，1 ）之间都是有无穷无尽的可能
这个问题可能和为什么有质数一样，当然并不指望能得到完美的答案。
自己想不出来，就发出来，好放下这个。

无理

根号

环小数

质数

46 replies • 2017-09-03 10:24:42 +08:00

DiamondbacK

Sep 2, 2017

找一本数学分析的实数理论来读读。

silencefent

Sep 2, 2017

代数是被发明的，这个世界没有"数”这一概念，代数里所有的一切都是伴随各个公理产生，公理不可证

xratzh

Sep 2, 2017 via iPhone

推荐知乎周刊 VOL165，《数学妙啊！妙！》

CEBBCAT

Sep 2, 2017 via Android

有无穷个数，找到适合每一个的进制并不容易

Valyrian

Sep 2, 2017

楼主是想问“为什么无理数用几进制表示都是无限不循环小数”吗？

nullcoder

Sep 2, 2017

@Valyrian #5
也可以算是我想问的，但是我觉得 #4 基本回答了。
更想问的是为什么有这种“东西存在”

比如 pie 定义是圆的周长和直径的比值，这个为什么就是一个无理数，为什么不是类似 1/3 这样的。
同理根号 2，根号 3 等。

ipwx

Sep 2, 2017

无论你用什么表示方式，分式也好，十进制小数也好，九进制小数也罢，都只是某个“数”的表示方式。

我们首先假定“整数”是不言而喻的，你我都清楚“整数”的概念。通过除法可以从整数派生出有理数。然而当你研究有理数的无穷序列的时候，发现不是所有满足柯西收敛准则的有理数序列（简称柯西序列）都能在有理数里面找到收敛的极限。比如我先写一个 3，再写一个 3.1，然后写 3.14 ，以此类推…… 你会发现明明有限步操作内，每一个写出来的数字都是有理数，但是当我把它无限写下去，却不是一个有理数。

因为找不到任何一个整数除以整数，等于这个无限的不循环的小数。

因此我们需要延拓有理数域，引入无理数这个概念。有理数和无理数加起来就是实数域。实数域满足任意柯西序列都能在实数域中找到收敛到的极限，即无穷序列的很多操作都是良定义的。

所以实数的定义根基是无穷序列的收敛。用收敛的语言来看，如果两个实数 |a-b| < epsilon （即两个数的差小于任何大于零的数），那么这 a 和 b 就代表了同一个数，无论你用什么方式去表达这两个数。因为不存在一个小于“大于零的任何数”的实数。譬如 0.999999.... （零点九九循环）和 1 就是同一个数。

这些都是实分析的内容，楼主有兴趣可以去学一学。

Cbdy

Sep 2, 2017 via Android

没学过高数吗？

momocraft

Sep 2, 2017

我觉得存在本身的原因是... 因为有人定义了能产生无理数的运算。
整数的加减乘除的闭包得不到无理数。如果没有定义方根，可能很久后人们才会因为别的原因发现第一个无理数。

nullcoder

Sep 2, 2017

@Cbdy
年少不知愁滋味，没好好学

WildCat

Sep 2, 2017

@momocraft 请问 π 是如何运算产生的？ e 呢

ipwx

Sep 2, 2017

有理数不满足所有柯西列收敛，因此引入无理数，只是从有理数延拓到无理数的一种基点。事实上存在另外的基点来引入无理数，当然这最终能退出这些基点互相都是等价的。

譬如根号二，如果你写出这样的一个集合： {x^2 < 2}，你可以证明（略）在无理数范围内这个集合不存在上确界。这时候我们引入无理数，确保任何有理数和无理数加起来的这个数域里面，所有有上界的非空集合都有上确界。通过这个基点，一样能得到实数，并且满足柯西收敛准则。

WildCat

Sep 2, 2017

π 是 pi，字体问题

ipwx

Sep 2, 2017

@WildCat pi 和 e 都是客观存在的某个“数”。只不过通过某些运算（大多是无穷序列求和，也有积分），你可以证明得到的那个答案“等于” pi 或者 e。

ipwx

Sep 2, 2017

@WildCat 譬如 https://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%E7%9A%84%E8%8E%B1%E5%B8%83%E5%B0%BC%E8%8C%A8%E5%85%AC%E5%BC%8F

ipwx

Sep 2, 2017

。。上面某一楼写错了一点，

{x^2 < 2}，你可以证明（略）在有理数范围内这个集合不存在上确界。

jarlyyn

Sep 2, 2017 via Android

因为无理数是客观存在的，有理数是人类在认知能力还比较匮乏的时候自己发明的。

ryd994

Sep 2, 2017 via Android

有限小数总是可以表示为分数
这个问题换一个问法：为什么分数不能表示数轴上所有的数？
毕达哥拉斯也不知道，但他对此表示强烈谴责。

imzhong

Sep 2, 2017

数学在逻辑上必须是完备的

RqPS6rhmP3Nyn3Tm

Sep 2, 2017 via iPhone

有理数无法填满实数轴
Epsilon - Delta 证明

WhoMercy

Sep 2, 2017 via Android

@nullcoder
我的理解是：
其实无理数都是被定义出来的，类比“复数”，在实际中可能很难找到对应的实例（或具体表现），但它们却实实在在的影响着运算结果。
所以就先定义这些数再给它们赋值，就造成了“无理数”的出现。
关于π，就是通过观察、假设、定义出圆的周长和半径的关系系数π，再通过微积分（极限）的方法算出面积和π的关系。
因为我们有多种途径可以测得周长和半径，也就能推出π的数值（近似值，根据测量方法会产出生不同精度），而这个数正好是无限不循环的（无理数）。

但其实我不知道无理数的证明过程，所以后面部分算是主观猜测。

kofj

Sep 2, 2017

没人说楼主的例证就错了吗？十进制里面的 1 和 3 与九进制里面的 1 和 3 一样？还有很多的吐槽点。。。

panda1001

Sep 2, 2017 via Android

@kofj
我也一直在想 0.1 算不算二进制里的无理数

Vinty

Sep 2, 2017

@panda1001 然而 0.1 在二进制里面也是循环小数，即有理数

ipwx

Sep 2, 2017

@kofj 没错。十进制的 0.3 = 3 * 10^{-1}。十进制的 0.3333.. 应该定义为无穷级数 sum_{i=1}^N (3 * 10^{-N})。

因此九进制的 0.3 = 3 * 9^{-1}

DiamondbacK

Sep 2, 2017

@panda1001 一个数是否等于两个整数之比，结论不管在什么进制里都一样。
0.1 = 1/10 = 1/(1010)_2

momocraft

Sep 2, 2017

一个数是 model，用几进制写出来只是 view。无限不循环小数显然不等于无理数，在几进制都一样。

momocraft

Sep 2, 2017

*无限循环小数

stabc

Sep 2, 2017

十进制的 10/30，在 9 进制的表示方式不是 10/30，而是 11/33

chaker

Sep 2, 2017

这需要理由吗？

nullcoder

Sep 2, 2017

@momocraft #27 的意见和我一样

@panda1001 @kofj
这是不同进制间小数转化方式，可以从 10 进制小数转 2 进制小数开始看。
http://www.cnblogs.com/xkfz007/articles/2590472.html

无理数比如自然底数 e，还有根号 2 pie，这些都是首先天然存在于自然界的。
然后在数学上被发现，并用一种特殊的方式表示。

md5

Sep 2, 2017

pi 不是 pie

ipwx

Sep 2, 2017

@nullcoder @momocraft 其实当你们说到“无限不循环小数”的时候，你们已经陷入误区了。

因为你们无法精确定义任何一个“无限不循环小数”。你们给别人看到的都是有限位数的小数，而当没有循环这一规则时，任何你没有写的小数位，都是未定义的。数学不讨论任何无定义的东西。

真正严谨地讨论无理数，必须基于明确的定义。譬如一个积分的结果，一个收敛的无穷级数的和。

davidqw

Sep 2, 2017

@imzhong 哥德尔或许不这么看

siriussilen

Sep 2, 2017

无法定义一个数的精确程度
1.0000000000 … = 0.999999999 ……
0.6666666666 …… 7 = 0.666666 …… 6
看看微积分学教程

fyyz

Sep 2, 2017 via Android

楼主已经开始思考第一次数学危机的内容了，2000 年前就有人思考这个东西了

am241

Sep 2, 2017 via Android

搜索数学直觉主义数学构造主义

summerwar

Sep 2, 2017

因为它不讲道理，所以叫无理数

oulongqi

Sep 2, 2017

事情是这样的：

曾今有个学派叫做毕达哥拉斯学派，他们信奉万物皆整数或整数之比（有理数）。后来有个不听话的学生质疑他们这个学派的观点，说：『老大，我发现边长为 1 的正方形的对角线不能写成整数或者整数的比，怎么办？』后来他老大（毕达哥拉斯）就火了，一怒之下把这个学生就给弄死了。后来越来越多的人发现好像这个学生是对的，那就是有理数没办法挤满整个数轴，有理数之间还有大量的缝隙（现代的测度论观点证明了有理数集的测度为 0，也就是说有理数的数量和无理数比起来根本不值一提），于是就为无理数正了名。后来逐步证明了当有了无理数之后，有理数+无理数能够密密麻麻的挤满整个实数轴，万事大吉。

然后时间来到了十七世纪，一群爱搞事数学家（笛卡尔、欧拉、高斯等）发现，为什么要局限于一根数轴上呢，我们可以往平面上搞事。于是发明了复数，再后来哈密尔顿在有提出了四元数（四维），当然这些都是后话了。

tnx2014

Sep 2, 2017

@nullcoder

其实关于引入无理数的严格理由，ipwx 举了一些角度和例子，已经说得很好了。但我想这毕竟不是纯数学学术讨论，楼主还是希望有不那么严谨但更直观一些的解释。

楼主的问题，其实涉及到完备性的概念，不严谨的解释，完备性就是对于一个集合，用某种标准去考察它，如果所有满足这种标准的元素都在这个集合内，就说这个集合在这种角度下是完备的，因为在这个角度看来，我们不用再给这个集合添加新元素。

例如对于一般空间而言，完备性的定义就是：任何空间中的柯西列的一致收敛极限包含于这个空间中。这个具体含义你不做相应研究可以不用深究，总之就是对空间这种集合，定义了某种东西，要求满足所有满足这个性质的元素包含在这个空间中，如果满足这个标准，就称这个空间是完备的。

其实毕达哥拉斯的学生希帕斯发现的问题就是类似，既然你这学派认为“万物皆数（有理数）”，那两直角边都为 1 的直角三角形的斜边长怎么表示呢？就是说，我们如果以三角形边长为标准，总有一些边长不在有理数的集合中，所以从这个角度看，有理数集合是不完备的，引入无理数可以完备化。

imzhong

Sep 2, 2017

@davidqw 数学是我们认知世界的工具，作为工具我们希望在我们所认知的范围内能完整表达世界，从这种意义上来说，数学必须要求自己完备（以及一致），所以才有自然数、有理数、无理数、复数，也许未来还有其他数的产生，否则数学就失去了解释力。至于哥德尔所说，更像是我们的理性根本达不到这种统一，但并不妨碍我们去追求。