Parabolic Equation

Definition / 定义

“抛物型方程”通常指偏微分方程（PDE）的一类，其性质介于椭圆型与双曲型之间，典型特征是描述扩散/传导过程（如热量传播、物质扩散）。最经典的例子是热方程（heat equation）。在更基础的语境中，它也可泛指与抛物线（parabola）相关的方程（即二次方程形式），但数学分析里更常用的是前者（PDE 分类意义）。

Pronunciation / 发音（IPA）

/pəˈræbəlɪk ɪˈkweɪʒən/

Examples / 例句

The heat equation is a parabolic equation.
热方程是一类抛物型方程。

Under suitable boundary conditions, a parabolic equation often smooths out irregularities over time.
在合适的边界条件下，抛物型方程往往会随着时间推移“抹平”不规则性，使解变得更平滑。

Etymology / 词源

parabolic 来自希腊语词根 parabole（意为“抛掷、对比、比喻”），在数学中逐渐专指“抛物线的”。equation 来自拉丁语 aequatio（“使相等”）。在偏微分方程理论中，“parabolic equation（抛物型方程）”这个名称来自对方程分类的类比：其特征与抛物线相关的判别式结构相呼应，因此借用“parabolic（抛物型）”来命名。

Related Words / 相关词汇

• Parabola
• Quadratic Equation
• Conic Section
• Partial Differential Equation
• Elliptic Equation
• Hyperbolic Equation
• Heat Equation
• Diffusion

Literary Works / 文献与作品中的用例

• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）——在方程分类与热方程部分系统讨论抛物型方程。
• Partial Differential Equations（Fritz John）——介绍椭圆/抛物/双曲三类 PDE 的基本理论框架。
• Introduction to Partial Differential Equations（Gerald B. Folland）——以热方程为核心例子讲解抛物型方程的性质与解法。
• Mathematical Physics（相关经典教材，如 Courant & Hilbert 的 Methods of Mathematical Physics）——在数学物理语境下用抛物型方程描述扩散与传导现象。